自然界存在着多种性质的相互作用,最常见的是两体相互作用.
两体相互作用中最常见的则是电荷间的Coulomb作用和天体间的万有引力作用.
一般说来,两体相互作用势可表示为$V\left(r_1, r_2, t\right)$.
在非相对论量子力学中,粒子运动速度远小于光速,可以略去势的推迟效应,
近似认为相互作用的传递是瞬间完成的,于是势中的$\boldsymbol{r}_1$和$\boldsymbol{r}_2$
均为$t$时刻的值.进一步,由于时间和空间的均匀性质, 不存在关于时间和空间的绝对标架.
所以当两个粒子组成了孤立体系时,两粒子的相互作用势就不应显含时间参量,并且只取决于它们之间的相对位置,
势的表达式将简化成为$V=V\left(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2\right)$.
与此同时,孤立体系本来并没有绝对方向(或优先方向),所以在没有外场破坏空间各向同性情况下,
相互作用势还可以进一步简化成只与粒子间连线长度有关，即
$V=V\left(\left|\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2\right|\right) \equiv V(r)$ 。

\begin{note}
      这部分在分析力学里有详细分析.
\end{note}

一般而言,量子力学中两体相互作用所导致的两体问题由下面Hamilton量决定:

\begin{equation}
    H =\frac{\boldsymbol{p}_1^2}{2m_1}+\frac{\boldsymbol{p}_2^2}{2m_2}+V\left(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2\right) 
    =-\frac{\hbar^2}{2m_1} \Delta^{(1)}-\frac{\hbar^2}{2m_2} \Delta^{(2)}+V(\boldsymbol{r})
\end{equation}
    
由于两粒子间的相互作用$V$中耦合了两个粒子的坐标,体现了它们运动之间的动力学关联.
和经典力学十分相似,量子力学中的两体问题也可以通过引入它们的质心坐标和相对坐标,
把它们（作为整个体系）的质心运动和彼此相对运动这两部分运动分离开.也即令

\begin{equation}
    \boldsymbol{R}=\frac{m_1\boldsymbol{r}_1+m_2\boldsymbol{r}_2}{m_1+m_2}, \quad \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1
\end{equation}

简单计算可得

\begin{equation}
    H=-\frac{\hbar^2}{2M} \Delta^{(R)}-\frac{\hbar^2}{2\mu} \Delta^{(r)}+V(\boldsymbol{r})
\end{equation}
这里
\begin{equation}
    M=m_1+m_2, \quad \mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}
\end{equation}
$M$是总质量, $\mu$是折合质量.注意,经这样代换之后, Hamilton量$H$被分成相互不关联的两项之和
$H=H_R+H_r$,其中
$H_R=-\frac{\hbar^2}{2M} \Delta^{(R)}, H_r=-\frac{\hbar^2}{2\mu} \Delta^{(r)}+V(r)$.
由分离变量可以得出:如果$H$可以分成互不关联的几部分之和,相应的能量本征值就可以分成互不关联的几部分之和，
而波函数就能分解成互不关联的几部分之积.情况能够如此是因为,这时令

\begin{equation}
    \psi\left(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2\right)=\psi(\boldsymbol{R}, \boldsymbol{r})=\varphi(\boldsymbol{R}) \cdot \psi(\boldsymbol{r})
\end{equation}
    
于是这个两体问题的定态Schrödinger方程成为

\begin{equation}
    H_R \varphi(\boldsymbol{R}) \psi(\boldsymbol{r})+
    H_r \varphi(\boldsymbol{R}) \psi(\boldsymbol{r})  
    =\psi(\boldsymbol{r}) H_R \varphi(\boldsymbol{R})
    +\varphi(\boldsymbol{R}) H_r \psi(\boldsymbol{r})
     =E \varphi(\boldsymbol{R}) \psi(\boldsymbol{r})
\end{equation}
    
等式两边同除以$\varphi(\boldsymbol{R}) \psi(\boldsymbol{r})$,得
\begin{equation}
    \frac{1}{\varphi(R)} H_R \varphi(\boldsymbol{R})+\frac{1}{\psi(r)} H_r \psi(r)=E
\end{equation}
    
左边两项分别属于独立坐标$\boldsymbol{R}$和$\boldsymbol{r}$,
因此必定各自等于常数$E_R 、 E_r$,它们的和为E.即得

\begin{equation}
    \left\{\begin{array}{l}
    -\frac{\hbar^2}{2M} \Delta^{(R)} \varphi(\boldsymbol{R})=E_R \varphi(\boldsymbol{R}) \\
    -\frac{\hbar^2}{2\mu} \Delta^{(r)} \psi(\boldsymbol{r})+V(\boldsymbol{r}) \psi(\boldsymbol{r})=E_r \psi(\boldsymbol{r})=\left(E-E_R\right) \psi(\boldsymbol{r})
    \end{array}\right.
\end{equation}
    
第一个方程表明,这两个相互作用着的微观粒子,作为一个整体(用它们质心坐标表示)是自由运动，
因为它们作为一个整体并没有受到外界作用.第二个方程表明，两体的相对运动,
当相互作用只和它们之间的连接矢量$r_2-r_1=r$有关时,可以转化为单体运动,
这时只要将质量替换成折合质量即可.通常把关于质心坐标$R$的运动称为运动学问题,
因为它不涉及相互作用;而把关于相对坐标$r$的运动称为动力学问题,因为它依赖于相互作用.
通常对不含相互作用的运动学问题不感兴趣,只对包含相互作用的动力学问题感兴趣.
后者将转化为以折合质量出现的、在固定力心中的单体运动问题，由于采用这种坐标变换以及折合质量的概念，
两体问题的描述得到了简化，只要在得出两粒子相对运动之后，再乘以它们的质心运动就能构
成两粒子运动的完整描述。